Le cercle trigonometrique

Le cercle trigonométrique est un outil essentiel en mathématiques et en physique.

Il est utilisé pour étudier les relations entre les angles et les longueurs dans un triangle rectangle, ainsi que pour résoudre des problèmes de géométrie et de trigonométrie.

Le cercle trigonométrique est un cercle unité, c'est-à-dire un cercle de rayon égal à 1, dont le centre est l'origine du plan cartésien.

I faut retenir la formule SOHCAHTOA

• Sin(θ) = opposé/hypoténuse
• cos(θ)= adjacent/hypoténuse
• tan(θ) = Opposé/adjacent

On le représente souvent sous la forme d'un diagramme, dans lequel l'angle est mesuré à partir de l'axe des abscisses (l'axe horizontal), comme indiqué ci-dessus :



Voici un lien a consulté: 

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Les points A, B et C sont les points d'intersection du cercle avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. Le point A correspond à l'angle 0°, le point B correspond à l'angle 90° et le point C correspond à l'angle 180°.

On peut définir les fonctions trigonométriques suivantes en se basant sur ce cercle :

• La fonction sinus (Sin): elle mesure l'opposé divisé par (la hauteur) d'un triangle rectangle par rapport à l'hypoténuse. Elle est égale à la coordonnée y du point d'intersection du cercle avec l'axe des ordonnées, lorsque l'angle est mesuré à partir de l'axe des abscisses. On peut écrire cette relation sous la forme Sin(θ) = opposé/hypothenus

• La fonction cosinus (Cos): elle mesure l'adjacent (la longueur) d'un triangle rectangle par rapport à l'hypoténuse. Elle est égale à la coordonnée x du point d'intersection du cercle avec l'axe des abscisses, lorsque l'angle est mesuré à partir de l'axe des abscisses. On peut écrire cette relation sous la forme cos(θ)= adjacent/hypothenus

• La fonction tangente (tan) : elle mesure le rapport entre l'opposé et l'adjacent d'un triangle rectangle. Elle est égale au rapport entre la coordonnée y et la coordonnée x du point d'intersection du cercle avec l'axe des ordonnées et l'axe des abscisses, lorsque l'angle (θ) est mesuré à partir de l'axe des abscisses. On peut écrire cette relation sous la forme tan(θ) = Opposé/adjacent

Il est important de noter que ces fonctions sont périodiques, c'est-à-dire qu'elles se répètent tous les 360°.

Voici quelques exemples d'utilisation des fonctions trigonométriques :

1. On souhaite connaître la hauteur d'un immeuble de 30 mètres de haut, situé à une distance de 40 mètres de l'observateur. L'angle de vue de l'observateur avec le sol est de 60°. Quelle est la hauteur de l'immeuble vue de l'observateur ?

Pour résoudre ce problème, on peut utiliser la formule Sin(θ) = Mesure({opposé}/{hypoténuse}). En remplaçant les valeurs, on obtient sin(60°) = {hauteur}/{40}$, donc la hauteur de l'immeuble est égale à sin(60°) * 40 = 30 mètres.

1. On veut savoir combien mesure l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont l'un des côtés mesure 20 mètres et l'autre côté mesure 15 mètres. Quelle est la valeur de l'hypoténuse ?

Pour résoudre ce problème, on peut utiliser la formule Cos(θ) = Mesure({adjacent}/{hypoténuse}). Si l'on suppose que l'angle mesuré est égal à 30°, on obtient\cos(30°) =(15}/{hypoténuse}, donc l'hypoténuse vaut {15}{\cos(30°)} = 20$ mètres.

Voici maintenant quelques exercices à résoudre :

1. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm et l'un des côtés mesure 8 cm. Quel est l'angle formé par l'hypoténuse et ce côté ?
2. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 12 cm et l'un des côtés mesure 5 cm. Quelle est la valeur de l'angle formé par l'hypoténuse et l'autre côté, en degrés ?
3. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 15 cm et l'un des côtés mesure 12 cm. Quelle est la valeur de l'angle formé par l'hypoténuse et l'autre côté, en radians ?

Pour résoudre ces exercices, n'hésitez pas à utiliser les formules de trigonométrie et à vous référer au cercle trigonométrique !